代数学引论(代数学引论第二版答案)

引言

早就有一种想法:把一些非常好的数学书籍尽量全面地推荐给广大数学爱好者和吧友们。这是由于以下 原因:一是在我们高等数学吧不断有吧友发贴询问推荐一些(高等)数学方面比较好的书籍,可能其中有部 分是初学者,因而急需一些有经验的学长推荐些好书,以便不走弯路。二来恰好笔者也有类似经历,初接触 高等数学方面的书籍时,也不知有啥好坏或者稂莠之别,后来在一些这些书的内容中了解到、在网上一些学长的贴子中看到很多“经典”和比较“好”的教材、参考书、课外书籍等,于是在广泛查阅、拜读之后,把 我所看过的和所知道的一些很好的书目记录下来,提供朋友们参考。希望能给大家有所帮助。

实际上所谓的“好书”和经典书,并不限于数学方面,其他学科方面的有,相信大家也看过不少,这里只说数学方面的。以下结合本人经验和一些学长的见解,共写有二十一个专题,每个专题都有该学科的简介或者是小结;相应的介绍书籍则是按【教材】、【习题集】、【辅导书】、【提高】四个方面来写,而且每本书后有简评供参考。最后附录介绍几个常用数学软件。

三、“高等代数”

《高等代数》与《数学分析》并称为最重要的数学基础课程,多年来为教育界所公认。同时《高等代数》是数学系学生入学后最先接触到的两门专业课(另一门是《数学分析》)之一,学生从高等代数课程中所获得的知识与方法训练,在其后的数学学习与研究中有不可替代的作用。事实上,大学四年中遇到的几乎所有问题最终都能转化为分析和代数问题。

这门课在西方叫做“线性代数”(Linear Algebra),苏联喜欢用“高等”一词,教材上少不了这个,既然有过学老大哥的传统嘛,所以国内都这么学着称呼。其实叫“线性代数”更为贴切,因为书里面研究的几乎都是线性的理论(非线性理论那还是数学前沿研究领域,到现在也没有很丰富的成果和进展)。

《高等代数》主要包括三部分(书本中没有这样划分):

1)多项式理论,占15%(20%)

2)线性代数(矩阵、行列式、线性方程和线性变换及一些空间理论),占80%

非数学专业学的就是这个,名字也一样。

3)群环域理论初步。占5%(0%)

也就是“近世代数”或叫“抽象代数初步”。在很多情况下,尤其是非师范类院校的数学系《抽象代数初步》不讲,而是另外有开设一门专门的《抽象代数》的课。代数课开设两学期,《抽象代数》开设一学期。但现在人们一般把他们看作两门不同的课程。

整体来说,书中概念和定理比较多,相对来说也很抽象。但是熟练运用这些工具之后,你就会发现解决一些问题超级方便。

【教材】

国内的有:

43《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组 王萼芳,石生明修订

目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材,有着悠久的传统。通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。

44《高等代数学》 姚慕生,吴泉水编著

本书力求将几何直观与代数方法有机地结合起来,使抽象的数学概念变得更容易理解。这是第二版的,第一版作者仅有姚慕生一人。

以下几本教材是网上学长们的推荐:

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45《高等代数》张禾瑞,郝鈵新编著

被各个师范大学的数学系广泛使用,和[43]同分天下。作者张禾瑞已经去世。

46《高等代数》(上下册)丘维声著

北京大学数学系94级用书,书写的不错。书中矩阵讲得不是十分深奥,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的,另外多项式理论那块也讲了不少。北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样,而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式,所以用这本书时也许会有一些不适应。建议用来作参考书而不是教材。

47《线性代数》蒋尔雄,高锟敏,吴景琨著

名为线性代数,实际上是一本高等代数教材。是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。市面上根本找不到,但各大学的藏书中肯定会有。

48《高等代数》周伯埙等

这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.图书馆里面好像有。

这本书有80%的篇幅是讲矩阵有关的理论,有大量习题。能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的。

当然这不是很容易的----

据说屠先生退休的时候留下这么句话:“今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我。”由此可见一斑。

49《高等代数学》张贤科,许甫华

插一句:目前有许多所谓的“简明教程”或者将代数与解析几何合在一起的课本(如《线性代数与解析几何》),这些教材在内容编排上不是很成熟,不建议使用。

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注:以上[45]和[48]各有几处有误,已修正。

P.S.丘维声的教材相配套的辅导书(习题集?)很好,只是很厚,挺恐怖的。

国外教材:

50《代数学引论》柯斯特利金著

和菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》齐名的又一苏联的伟大数学著作。就一本书,不是很厚,也不贵。

【习题集】

51《高等代数辅导与习题解答》或《高等代数(北大·第三版)导教·导学·导考》

类似的配套书辅导,这样的配套辅导书有好多人写,随便一本都行。

52《高等代数习题集》第2版(修订本) 法杰耶夫,索明斯基著 ; 丁寿田原译, 项观捷等修订

一本老习题集,到图书馆找找。

53《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫编著

同上本一样,都是前苏联的经典代数习题集。两本书分别有两千道和一千道题,做完后就不知道有什么效果了。

【辅导书】

54《高等代数:定理·问题·方法》胡适耕, 刘先忠编著

还是老胡的书,非常棒!

55《高等代数习题解》或者《高等代数精选题解》杨子胥著

题目丰富,解题技巧多多,个人推荐。杨子胥同宋宝和编著了一本《近世代数习题解》也可以作为今后参考。

56《高等代数解题方法》(第2版) 许甫华, 张贤科编著

强烈推荐!本书和[54]、[55]都是非常好的辅导书,能学到不少的东西,最主要的是比其他什么课后习题解答之类的辅导书要好多了。

【提高】

57《Linear Algebra(GTM23)》Greub著

其实这里面更多讲的是线性代数,里面的有些章节还是值得一读的。

58《矩阵论》甘特玛赫尔著 柯召译

矩阵研究方面的权威著作。

说到“矩阵论”,在图书馆我还经常看到一本书,那就是:

59《线性代数与矩阵论》许以超著

比较艰深,是本好书。不管怎么样,他毕竟算是华先生的弟子的。

60《线性空间引论》叶明训编著

武汉大学出版社的,文字符号的排版比较好,但这并不是说样子好看内容就不行。值得看看。

61《高等代数探究性课题集》邱森, 朱林生主编

很是开拓思维,深受启发。

62《矩阵分析及其应用》曾祥金,吴华安编著

矩阵方面做得比较好的,其中对于范数的讨论比较详细,另外还十分注重矩阵函数、矩阵微分、矩阵导数、矩阵积分等“矩阵运算”的综合应用。

63《近世代数观点下的高等代数》陈辉著

闻书名就能答题知其详细内容。不过这书名倒是让我想起另一本(三卷)有名的书《高观点下的初等数学》。

四、“线性代数”

前面说了,非数学专业学的是《线性代数》,即《高等代数》的大部分内容。非数学专业注重的是对于行列式、矩阵的运算证明,以及矩阵的应用(线性变换、二次型等)。

【教材】

64《线性代数》李烔生,查建国编著

以前中科大的课本。可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的,因此比较难。

65《通俗线性代数讲义》李徐鸿编著

非常容易看懂,写得很清晰。后面附录中还有一些探究的成果。

P.S. 同济版的《线性代数》也可以看看。其实各院校自己用的课本都没多大差别,不必刻意。当然,能结合《高等代数》的辅导书或是教材看看也行。

【习题集】

散见各个辅导书。

【辅导书】

66 《线性代数辅导》(第二版)胡金德、王飞燕编

非常好。

67《线性代数典型题精讲》第2版 许甫华编著

和56相对应的一本书,两本书同样好,还是强烈推荐。

剩下参见高等代数部分。

【提高】

参见高等代数部分。

《项武义基础数学讲义·基础代数学》可以课后翻翻看。

还有《线性代数五讲》龚升编著 也可以看看。这本书讨论了向量空间、线性变换,在着重研究了主理想整环上的模及其分解后,重新理解向量空间在线性算子作用下的分解。使读者从高-个层次上来认识线性代数。

五、“解析几何”

也叫“空间解析几何”,其实中学阶段学了大部分解析几何的知识了,这里只是在学了《线性代数》或《高等代数》之后利用矩阵等线性代数的工具来进一步研究空间曲面和曲线的表示及其相关计算。

这门学科历史也是很悠久的,其重要性也不言而喻:数形结合从此有了基础;微积分因此才成为可能。从教学内容上说,它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些几何元素基本常识以及相关计算,重点是不变量理论。可以说,这门理论已经把宏观宇宙空间的局部近似下的模型(欧氏空间)下的度量关系研究到极致,除非再引入新的观点(如仿射几何),否则无法再深入了。

【教材】

68《解析几何》吕根林,许子道著

经典课本。讲得十分全面,有一些内容是不作要求的。

69《解析几何》丘维声著

可做课本。

70《空间解析几何学》 陈[受鸟](陈季略和庄曜孚之女;陈衡哲之妹;吴大任之妻;南开大学教授)著

作者这个名字打不出来。

本书内容基本上和课本差不多。书的年代比较老了。补充一句:陈[受鸟]是中国早期留学海外的女学者之一,其丈夫吴大任是著名物理学家吴大猷先生的堂弟。

71《解析几何学》朱鼎勋著

还是老书。非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得十分清楚。朱先生相当有才华,可惜英年早逝。

72《解析几何》尤承业著

与上本差不多。

73《解析几何》周建伟著

讲得有特点。书后还讲了一些射影几何、仿射几何等高等几何在解析几何中的部分应用。

【习题集】

74《解析几何习题集》巴赫瓦洛夫著

不容易找到。

75 利用教材后的练习,以及一些辅导书后的习题。

【辅导书】

以下几本是网上一个学长的推荐:

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76《(解析)几何学》狄隆涅著

这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思。这位苏联科学院院士真是够能写的。

77《解析几何学教程》穆斯海里什维利著

具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是\"虚\"的而已)。

78《解析几何简明教程》吴光磊

写的简单明了,当参考书看,收获还是不少的。

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P.S. [76]里面的东西很多,还包括一些四维的表示与应用,少数《画法几何》里面谈到了这个。总之知识点还比较全面。

【提高】

79《项武义基础数学讲义·向量几何,解析几何,球面几何》

项武义基础数学讲义系列都应该看。

也可作为提高用书。

80《古典几何学》项武义,潘养廉等

这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的。这本书十来年前大概做过教材的。